柯西不等式（Cauchy Inequality），又称为柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality），是数学中的一个重要不等式。它在线性代数和解析几何中有广泛的应用。
柯西不等式的数学表达式为：
对于任意的实数a₁, a₂, ..., aₙ和b₁, b₂, ..., bₙ，有：
|a₁b₁ a₂b₂ ... aₙbₙ| ≤ sqrt(a₁² a₂² ... aₙ²) * sqrt(b₁² b₂² ... bₙ²)
其中，sqrt表示平方根。
该不等式说明了向量的内积（点乘）的性质。它告诉我们对于任意的向量a和b，它们的内积的绝对值不超过它们的模（长度）的乘积。
柯西不等式的应用非常广泛，包括但不限于以下领域：
- 线性代数
- 解析几何
- 概率论与统计学
- 信号处理
- 优化方法
总结起来，柯西不等式是数学中不可或缺的一部分，它帮助我们理解向量内积的性质，扩展了许多数学领域的研究。