罗尔中值定理是微积分基础内容之一，是微积分的基本定理之一，定理很简单：假设函数 $f(x)$ 满足一下条件：
- 在区间 $[a,b]$上连续
- 在区间 $(a,b)$内可导
- $f(a)=f(b)$
则在区间 $(a,b)$ 内至少存在一点 $c$，使得$f^{'}(c)=0$，即导数为$0$。
罗尔中值定理主要的应用就是求曲线与 $x$ 轴交点的个数，或者求解一些极值问题。下面举一个例子：
设函数 $f(x)=x^3 2x^2-x-2$，请问$f(x)$ 在 $[-2,1]$上有几个零点？
首先，我们可以先用 $f(a)$ 和 $f(b)$ 来比较大小，即 $f(-2)$ 与 $f(1)$，发现它们符号不同。接下来，我们证明导数$f^{'}(c)=0$的点必定存在。
首先，我们可以求出函数的导数：$f^{'}(x)=3x^2 4x-1$，令这个导数为 $g(x)$。由于 $g(-2)<0$，$g(1)>0$，不论 $g(x)$ 的图像如何，它由下降趋势转为上升，必定经过 $x$ 轴1次。因此，在 $[-2,1]$ 内存在至少1个使 $f^{'}(x)=0$ 的实数解 $c$。
再用 $f(c-0)$ 和 $f(c 0)$ 来比较大小，即可确定 $f(x)$ 在 $[-2,1]$ 内有且仅有 $1$ 个零点。
可见，罗尔中值定理在微积分的学习中具有重要的应用，它不仅能够解决复杂的极端问题，还可以帮助我们更好地理解微积分的概念与精髓。